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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de las siguientes curvas:
h) $f(x)=x^{2}-4$, eje $x$
h) $f(x)=x^{2}-4$, eje $x$
Respuesta
En este problema tenemos dos funciones involucradas:
Reportar problema
$f(x)=x^{2}-4$
$g(x) = 0$ (el eje $x$)
1) Buscamos los puntos de intersección entre \( f(x) \) y el eje \( x \)
$x^2 - 4 = 0$
Resolviendo esta ecuación cuadrática obtenemos que los puntos de intersección son \( x = -2 \) y \( x = 2 \).
2) Techo y piso
En el intervalo \([-2, 2]\) -> El eje \( x \) es techo y \( f(x) = x^2 - 4 \) es piso.
3) Planteamos la integral del área
$
A = \int_{-2}^{2} [g(x) - f(x)] \, dx = \int_{-2}^{2} [0 - (x^2 - 4)] \, dx = \int_{-2}^{2} -x^2 + 4 \, dx
$
Atenti ese paréntesis después del $-$, no te lo olvides!
Calculamos la integral:
$A = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 4x \Big|_{-2}^{2} = \frac{32}{3}$
Por lo tanto, el área encerrada entre la función \( f(x) = x^2 - 4 \) y el eje \( x \) es \( \frac{32}{3} \).